Pályafutásának kezdetét Varga Ferencnek (akivel egy házban laktak) köszönhette, hiszen ő csábította a Budapesti (Újpesti) Dózsába kajakozni a fiatal reménységet – írja megemlékezésében a MOB hivatalos honlapja, az olimpia.hu. – Az Öcsi becenevet társaitól kapta, amikor 17 esztendősen a válogatott tagja lett. Három évvel később, amikor Magyarország az egyik legnehezebb korszakát vészelte éppen át, 1956-ban Melbourne-ben a dobogó legfelső fokára állhatott.
Társával, Urányi Jánossal 10 000 méteren indultak az olimpián, győzelmük egyenlő volt a magyar kajak-kenu történelmének első aranyérmével. Emléküket örökké őrzi az Urányi-Fábián UTE kajak-kenu vízitelep, a Magyar Olimpiai Bizottság. és a Magyar Kajak-Kenu Szövetség is. Fábián László huszonháromszoros magyar bajnok, négyszeres világbajnok és hatszoros Európa-bajnok is volt.
Pályafutása után nem tudott elszakadni kedves sportágától, így az UTE, később pedig az MTK edzői gárdáját erősítette.
Munkáját többszörösen elismerték: 2006-ban átvehette a Magyar Köztársaság Érdemrend tisztikeresztjét, 2012-ben a Gerevich Aladár emlékérmet, 2016-ban pedig a magyar fair play díjat életmű kategóriában.
Felesége Fábiáné Rozsnyói Katalin, aki számos ötkarikás bajnok edzője volt az elmúlt évtizedekben.
Fábián László 1936. július 10-én született, 82 évet élt.