A 49 éves Szavics játékosként Jugoszlávia válogatottjával két olimpiai bronzérmet, majd Szerbia és Montenegró csapatával 2004-ben ezüstérmet nyert az ötkarikás játékokon.
Bár remek vízilabdázó is volt, legnagyobb sikereit edzőként érte el, a Crvena zvezdával 2013-ban Bajnokok Ligáját nyert, s ezt követően jöttek a válogatott sikerek: 2014-ben Európa-bajnoki cím, 2015-ben a kazanyi vb-siker, 2016-ban újabb Eb-diadal és a riói olimpiai arany, 2018-ban ismét a kontinens csúcsára jutott a válogatott, amellyel 2021-ben a tokiói olimpiát is megnyerte.
2022 óta rövid időre visszatért a Crvena zvezdához, majd Máltán és Szaúd-Arábiában vállalt munkát. Montenegróban azt remélik, Szavics irányításával a csapat visszakerül a világ legjobbjai közé.