Tagányi Árpád 1938-ban kezdte profi labdarúgó pályafutását, az akkori NB I-es kőbányai Törekvésben, később a Gamma szerződtette, majd 1947-ben a SZAC-hoz igazolt. Ebben az évben olyan kiválóságok játszottak a SZAC csapatában, mint Deák „Bamba”, a sokszoros válogatott Európa-rekorder gólgyáros, Bircsák Guszti, Markosuszky, Bihari, Kapcsos, Komáromi.
Ez volt a SZAC valaha legjobb, hetedik helyezést elérő „aranycsapata”. 1948-ban Buci bácsi többszöri liga és B-válogatottság után a nemzeti válogatottban is szerepelt Bécsben, az osztrákok ellen. A Henni, Rudas, Kispéter, Balog II, Bozsik, Tagányi, Egressy, Szusza, Deák, Puskás, Mészáros összeállítású csapatban már helyet kapni is nagy dicsőségnek számított. A legendás munkabírású, kőkemény „Buci” hatalmas lövéseiről, szabadrúgásairól vált híressé az élvonalban.
1951-ben a SZAC csapatát politikai okokból beolvasztották a Budapesti Postásba. Ezt többen nem viselték el, Buci bácsi ezért 1952-ben eligazolt a Vörös Meteorba, ahol először játékos-edzőként, majd edzőként 18 évig tevékenykedett.
Az „utolsó mohikán” Tagányi Buci 2010. március 8-án, 90 éves korában követte az egykori játszótársakat.
A sportban és a magánéletben egyaránt sikerekben gazdag, eredményes pályafutást tudhatott magáénak, hosszú, tartalmas, boldog életet élt. Családja, barátai, ismerősei 2010. április 1-jén, 15 órákor kísérik végső útjára a monori temetőben.