A San Sebastiánban született Odriozola 2006-ban tízévesen csatlakozott a helyi Real Sociedad utánpótlásprogramjához, 2013-ban a második csapatban és az ifi BL-ben is bemutatkozott.
2016 februárjában szerződést hosszabbított, az előző szezonban lett a Real Sociedad első számú jobbhátvédje.
Az U21-es válogatottban is szerepelt, 2017-ben ott volt az Európa-bajnokságon. A felnőttválogatottban tavaly októberben debütált, s bekerült a vb-keretbe is, igaz, nem lépett pályára Oroszországban.
Az As úgy tudja, a Real Madrid a 40 millió eurós kivásárlási árát 35 millióra alkudta le.