Elez a Hajduk Split akadémiáján nevelkedett, majd 2013-ban szerződtette a Lazio. Az olasz csapat többször kölcsönadta, így 2015 februárjában fél évre a Budapest Honvédnak. A kispestieknél 13 bajnokin 1035 percet töltött a pályán.
A Transfermarkt szerint 2.5 millió eurós piaci értékű védőt újból kölcsönadta a Lazio, ezúttal a német Hannovernek. A 23 éves, 189 cm magas horvát bekk a legutóbbi szezonban horvát bajnok és kupagyőztes lett a Rijekával, a jelenleg is zajló idényben pedig 24 tétmeccsen játszott: 13 bajnokin, hat Bajnokok Ligája-selejtezőn, valamint öt Európa-liga-csoportmérkőzésen. Utóbbiak közül kettőn gólt is szerzett: az AC Milan és az AEK Athén kapuját is bevette, igaz, csapata mindkétszer kikapott.
„Josip Elez fiatal játékos, aki már jelentős tapasztalattal rendelkezik, és nagy potenciált látunk benne. Három- és négyvédős rendszerben is tud futballozni. Ambiciózus, kőkemény a párharcokban és a játék szervezéséből is kiveszi a részét" – méltatta a Honvédban is megfordult védőt Horst Heldt, a Hannover sportigazgatója.
„Egy álmom vált valóra azzal, hogy a Bundesligába igazoltam. Mindent megteszek azért, hogy a Hannovert segítsem, és minél előbb elérjük a célunkat, azaz a bennmaradás biztossá tételét. Természetesen már tájékozódtam a klubról, tudom, hogy nagyon összetartó a csapat, örülök, hogy itt lehetek" – idézi a Hannover honlapja Josip Elezt.
A horvát védő akár már szombaton bemutatkozhat új csapatában, a Hannover a Mainzot fogadja a Bundesliga 18. fordulójában.