Hámori László 1956. december 23-án született Pécsett, és szülővárosa csapatában mutatkozott be az NB I-ben 1974. május 12-én, amikor a mecsekaljaiak 2–0-ra kikaptak a Vasas vendégeként. A csatárt a szünetben cserélte le Dunai János vezetőedző.
Hámori abban az idényben ezen az egy bajnokin szerepelt, majd a következőben kétszer kapott bizalmat. A következő két bajnokságban a másodosztályban szerepelt, majd az 1977–1978-as idényben 10 meccsen háromszor volt eredményes a Dunaújvárosban.
A korábbi ifjúsági válogatott labdarúgó szerepelt még a Honvéd Kossuth KFSE, a Budapesti Honvéd, a Komlói Bányász, a Pécsi BTC, a Kaposvári Rákóczi és a Pécsi VSK csapataiban is. Szeptember 20-án hunyt el.