Mario Bozic 2004 nyarán szerződött a Milicionar Beogradtól a Videotonhoz. Székesfehérváron három és fél évet töltött el, 2006-ban története első Magyar Kupa-aranyához segítette a klubot.
2007 szeptemberében épp klubja stadionjában, a Sóstói Stadionban mutatkozott be a bosnyák válogatottban, amely Eb-selejtezőre látogatott hazánkba. Bosznia-Hercegovina nemzeti csapatában ezenkívül még egy alkalommal szerepelt.
A kiváló távoli lövéseiről elhíresült középpályás piros-kékben 114 meccsen 14 gólig jutott, majd 2008 elején Újpestre igazolt, ahol másfél éven át szerepelt. A lila-fehér együttesben 48 mérkőzésen 5 alkalommal talált be.
2009-ben a Slovan Bratislavába szerződött, majd megfordult izraeli, kínai, azeri, görög és szerb klubokban is. Pályafutását 2015-ben, karrierje első profi klubjához, az FK Loznicához visszatérve fejezte be.
Bozic az elmúlt években agydaganattal küzdött, több műtéten is átesett, ám a gyilkos kór ellen 2023. április 3-án szervezete feladta a küzdelmet.