Varga László 1965-ben és 1966-ban nyert bajnokságot a Vasassal, és 1965-ben a Közép-európai Kupát is megnyerte a piros-kékekkel.
A Vasas honlapja megemlíti, hogy kapustársa, Szentmihályi Antal távozása után ő vált a csapat oszlopos hálóőrévé, ezekben az időkben Illovszky Rudolf és Csordás Lajos keze alatt dolgozhatott.
Tízszeres ifjúsági válogatott és hétszeres utánpótlás-válogatott volt, aktív pályafutása után edzőként vállalt szerepet.
Varga László temetése az Üllői úti Szent Kereszt templomban, szeptember 30-án 15 órakor lesz.