Tábori 1955-ben, Oslóban 1500 méteren 3:40.8 perccel Iharos Sándor világcsúcsát javította meg. Ő volt a világon a harmadik, aki – 1955-ben, Londonban – négy percen belül futott egy mérföldön, 3:59.0 perces eredménye akkor Európa-csúcsnak számított. Iharos Sándorral, Rózsavölgyi Istvánnal, valamint Mikes Ferenccel együtt tagja volt annak a legendás váltónak, amely sorozatban állított fel világcsúcsokat, 4x1500 méteren kétszer értek el rekordot (15:25.2 p és 15:14.8 p).

Tábori a melbourne-i olimpián negyedik lett 1500 és hatodik 5000 méteren, majd a játékok után edzőjével, Iglói Mihállyal nem tért haza Magyarországra, hanem Kaliforniában telepedett le. A versenyző az 1960-as római olimpiára éremesélyesként készült, azonban nem indulhatott el, mivel magyar színekben nem szerepelhetett, az amerikai állampolgárságot pedig még nem kapta meg. Két évvel később fejezte be pályafutását, majd saját klubot alapított. Később sikeres edzőként dolgozott a Dél-Kaliforniai Egyetemen. Tanítványai között volt például Jacqueline Hansen és Miki Gorman, mindketten Boston Marathon-győztesek.

Tábori 1931. július 6-án Kassán született Talabircsuk László néven. Az Egyesült Államokban 1971-ben az év futóedzőjének választották, míg 1979-ben a Runners World magazin neki ítélte a legjobb edző díjat. A Nemzetközi Fair Play Bizottságtól 2000-ben életműdíjat kapott.